(根号2 +1)^x +(根号2 -1)^x=6

(√2 +1)^x +(√2 -1)^x=6
把√2 -1分子有理化,则√2 -1=1/(√2 +1)
设√2 +1=a,原式=a^x+a^(-x)=6
再设a^x=t>0
则a^x+a^(-x)=t+t^(-1)=6,方程两边乘以t,得
t^2-6t+1=0,解得t=3+2√2或t=3-2√2
所以即(√2+1)^x=3+2√2或(√2+1)^x=3-2√2
即(√2+1)^x=(√2+1)^2或(√2+1)^x=(√2-1)^2=(√2+1)^(-2)
所以x=2或-2

设t=(根号2 +1)^x >0,那么(根号2 -1)^x=1/t

原方程变为:t+1/t=6
t^2-6t+1=0
t1=3+2根号2
或
t2=3-2根号2.

即(1+根号2)^X=3+2根号2=(1+根号2)^2
X=2

或:
(1+根号2)^X=(1-根号2)^2=[1/(1+根号2)]^2
得:X=-2

m=3+2√2，n=3-2√2
m+n=6
mn=1
解得3+2√2，3-2√2
(√2+1)^x=3-2√2或3+2√2
x=2或-2

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